新発見の数学的「アインシュタイン」の形状がネバーを生み出す

アインシュタインと呼ばれる新しい図形が数学界を席巻しました。ごつごつした帽子の形をしたタイルは、決して繰り返されないパターンで無限の平面を覆うことができます。

バスルームの床をクリエイティブにタイル張りすることは、DIY 住宅リノベーターにとってストレスのかかる作業だけではありません。数学の中でも最も難しい問題の一つでもあります。何世紀にもわたって、専門家は、床、キッチンの跳ね上げ、または無限に大きな平面を隙間なく覆うことができるタイル形状の特別な特性を研究してきました。具体的には、数学者は、繰り返しのデザインを作成せずに平面全体をカバーできるタイル形状に興味を持っています。非周期タイリングと呼ばれるこれらの特殊なケースでは、タイリングを継続するためにコピーして貼り付けることができるパターンはありません。モザイクをどのように切り刻んでも、各セクションはユニークになります。

これまで、非周期タイリングには常に少なくとも 2 つの異なる形状のタイルが必要でした。多くの数学者はすでに、とらえどころのない「アインシュタイン」タイルと呼ばれる 1 つのタイルで解決策を見つける希望をあきらめていました。このタイルの名前の由来は、ドイツ語で「1 つの石」を意味します。

そして昨年 11 月、英国ヨークシャーに住む元印刷システムエンジニアのデビッドスミス氏が画期的な発見をしました。彼は、アインシュタインのタイルである可能性があると信じた、13 角形のゴツゴツした形状を発見しました。彼がオンタリオ州ウォータールー大学のコンピューター科学者クレイグ・カプランにそのことを話すと、カプランはすぐにこの形状の可能性を認識した。カプラン氏は、ソフトウェア開発者のジョセフ・サミュエル・マイヤーズ氏とアーカンソー大学の数学者チャイム・グッドマン・ストラウス氏とともに、スミスの特異なタイルが確かに隙間や繰り返しなく平面を舗装することを証明した。さらに良いことに、スミスはアインシュタインタイルを 1 つだけではなく、無限の数も発見したことがわかりました。チームは最近、プレプリントサーバー arXiv.org に投稿された論文で結果を報告しましたが、まだ査読されていません。

スペイン、グラナダにあるアルハンブラ宮殿の息を呑むようなモザイクの回廊を歩いたことのある人なら、飛行機にタイルを貼ることに伴う芸術性を知っているでしょう。しかし、そのような美しさには答えのない疑問が隠されており、数学者のロバート・バーガーが1966年に述べたように、それは証明できないものです。

無限のサーフェスを無限の数の正方形のタイルでタイル表示したいとします。ただし、ルールが 1 つある必要があります。それは、タイルのエッジには色があり、同じ色のエッジのみが接触できるということです。

無限のタイルを使用して、ピースを置き始めます。うまくいきそうな戦略を見つけたものの、ある時点で行き詰まりに遭遇します。利用可能なタイルでは埋めることができないギャップがあり、一致しないエッジを隣り合わせて配置する必要があります。ゲームオーバー。

しかし、確かに、適切な色の組み合わせの適切なタイルがあれば、窮地から抜け出せたかもしれません。たとえば、すべてのエッジが同じ色のタイルが 1 つだけ必要な場合があります。数学者はあなたのゲームを見て、「最初に与えられた色のタイルの種類を見るだけで、行き詰まりになるかどうか判断できますか? そうすれば、確かに時間を大幅に節約できるでしょう。」と尋ねるでしょう。

バーガー氏は、答えは「ノー」であると発見した。隙間なく表面をカバーできるかどうか予測できない場合が常にあります。原因は、非周期タイリングの予測不可能で反復しない性質です。バーガー氏はその研究の中で、色パターンを繰り返すことなく平面を舗装できる、20,426 個の異なる色のタイルからなる信じられないほど大規模なセットを発見しました。さらに良いことに、どのように並べても、そのタイルのセットで繰り返しパターンを形成することは物理的に不可能です。

この発見は、それ以来数学者たちを悩ませ続ける別の疑問を引き起こしました。それは、一緒になって非周期的テッセレーションを作成できるタイル形状の最小数はいくつなのかということです。

その後の数十年間で、数学者は非周期的なモザイクを作成できるタイルのセットがますます小さくなることを発見しました。まず、バーガー氏は 104 個の異なるタイルを含むタイルを見つけました。その後、1968 年にコンピューター科学者のドナルドクヌースが 92 の例を発見しました。1 年後、数学者のラファエルロビンソンはタイルタイプが 6 種類のみのバリエーションを発見しました。そして最終的に 1974 年に物理学者のロジャーペンローズは、タイル 2 つだけを使用した解決策を提示しました。

その後、進歩は停滞しました。それ以来、多くの数学者が単一タイルの解法である「アインシュタイン」を模索しましたが、最終的に他のパズルに目を向けたペンローズを含め、誰も成功しませんでした。しかし、64歳の退職者デビッド・スミスさんは諦めていなかった。ニューヨーク・タイムズ紙によると、彼はユーザーがタイルをデザインして組み立てることができるソフトウェアである PolyForm Puzzle Solver をいじるのが好きだったという。形が有望に思えた場合、スミスは紙のパズルのピースをいくつか切り出し、実験してみました。そして2022年11月、彼は今や有名になったタイルを見つけ、そのシルクハットの形から「ハット」と呼んだのだが、多くの人はTシャツに似ていると考えているとカプラン氏は強調する。

カプラン氏はスミスから「帽子」に関する電子メールを受け取ったとき、すぐに興味をそそられました。ソフトウェアの助けを借りて、彼は帽子の形をしたタイルをどんどん並べていき、まるで繰り返しのパターンを形成することなく本当に平面を覆い尽くしているかのように見えました。

しかし、タイルを敷き続ければ、そのような繰り返しのパターンが現れる可能性はあります。おそらく、飛行機の長さが数光年になって初めて余分な部分が現れるでしょう。研究者らは、タイル張りが非周期的であることを数学的に証明する必要がありました。カプラン氏は、過去にタイル張りに幅広く取り組んできたマイヤーズ氏とグッドマン=ストラウス氏に頼った。

最初、彼らは、「帽子」が非常に単純な 13 角形をしているため、潜在的なアインシュタインタイルの単純さに驚きました。もしあなたが以前にグッドマン・シュトラウスに、とらえどころのないアインシュタインのタイルがどのようなものになるかを尋ねていたら、「私は何かクレイジーで、うねうねした、厄介なものを描いていたでしょう」と彼はサイエンスニュースに語った。そして、数学者たちがその形状を詳しく観察したところ、辺の長さを調整しても継ぎ目のない非周期的なモザイクを作成できることに気づきました。この 1 つの形状が、無限のアインシュタインタイルへの扉を開きました。

数学者たちは自分たちの主張を裏付ける確かな証拠を必要としていました。まず、専門家が数十年にわたって信頼してきた手法を使用して、特定の種類のタイルが非周期的なモザイクを作成できることを示しました。しかし、マイヤーズ氏はまた、これらの古い方法を超えて、他のタイリングにも役立つ可能性がある、まったく新しい証明方法を作成しました。

この実証済みの方法は、1969 年のロビンソンの 6 タイルセットを使用することで最もよく説明されます。ロビンソンのタイルに描かれたオレンジと緑の線は、前の無限正方形の例の色付きのエッジのように機能します。ここでもルールは同様に単純です。2 つのロビンソンタイルは、緑とオレンジの線が滑らかに続いている場合にのみ隣り合うことができます。

このルールに従うと、ますます大きくなるオレンジ色の四角形で構成される認識可能なパターンが生成されます。ズームアウトし続けると、正方形はさらに大きくなり、互いに交差します。これにより、モザイクの各部分が独自の場所を持つ階層構造が構築されます。ルールに違反して構造を破壊することなく、セクションを移動したり交換したりすることはできません。これは、テッセレーションが非周期的である必要があることを示しています。

カプラン、グッドマン・ストラウス、マイヤーズは、スミスが提案した帽子型のアインシュタインタイルについても同様のものを示すことができました。タイルを操作しやすくするために、帽子のゴツゴツしたエッジをより認識しやすく便利な形状に滑らかにしました。たとえば、単一の帽子タイルは三角形で近似できます。また、複数のアインシュタインタイルのクラスターを使用して、さまざまな形状を作成しました。彼らは、4 つのハットタイルを六角形の構造に、2 つのタイルを五角形に、そして 2 つのタイルの別の組み合わせを平行四辺形に配置することができました。これら 4 つの滑らかな形状は、それぞれアインシュタインタイルのみで構成されており、あるパターンで平面を完全に覆うことができます。

数学者たちは、ロビンソンの 6 つのタイルセットと同様に、これら 4 つの特殊な形状が階層構造を形成しているため、このタイルには繰り返しパターンが含まれていないことを証明しました。これら 4 つのアインシュタインタイルクラスター (六角形、五角形、平行四辺形、三角形) を一緒に配置すると、必然的に同じ形状の 1 つのより大きなバージョンが作成されます。次に、それらのより大きな形状を結合すると、それらの形状のさらに大きなバージョンが作成されます。このプロセスは無限に繰り返すことができ、階層構造が形成されます。したがって、パターン全体を繰り返すセクションに分割することはできません。パターンの一部を別の場所にスライドさせるだけでは、その全体的な構造が壊れてしまいます。

この証明には複雑な計算が必要だったので、3 人の科学者はコンピューターの助けを借りました。彼らはコンピューターを利用した証明を自由に公開し、誰でも間違いがないかチェックできるようにしました。

しかしマイヤーズ氏はまだ満足していなかった。彼は、アインシュタインの帽子が研究しやすい他のよく知られたタイリングと接続されていることを示すことで、コンピューターを使わずに手動で実行できる非周期性を証明するための新しい方法を作成しました。これらの関連タイリングは、正三角形を組み合わせて形成される単純なタイルであるポリイアモンドと呼ばれる形状で構成されています。マイヤーズ氏は、アインシュタインハットのエッジの一部を調整して、ハットの同じタイリングパターンに従う 2 つの異なるポリアモンドの配置を形成しました。1 つはシェブロンのような形状で、もう 1 つは六角形とひし形を組み合わせたような形状です。見た目の違いにもかかわらず、これら 3 つの配置はすべて同じ特性を持っています。数学者が両方のポリダイヤモンドタイリングが非周期的であることを証明できた場合、元のタイリングも同様に非周期的であるはずです。

ありがたいことに、ポリアモンドの場合、その証明は基本的な数学の問題です。数学者は、ポリイアモンドの配置の対称性を並進ベクトルと呼ばれる量で表すことができます。 2 つの新しい配置に繰り返しパターンが含まれている場合、それらの並進ベクトルの長さは相互に関連しているはずです。具体的には、それらの比率は有理数であるはずです。しかし、その代わりに、ベクトルは 2 の平方根の比 (明らかに無理数) を持ち、ポリアモンドの配置が周期的ではないことを示しています。したがって、元の帽子タイルは確かにアインシュタインでした。

マイヤーズの新しい証明方法は他のタイルにも役立つ可能性があると科学者らは論文で説明している。しかし今のところ、タイル職人の専門家もアマチュアも、待望のアインシュタインタイルを手にすることにただ興奮しています。家の装飾の可能性は文字通り無限です。ウィリアムズ大学の数学者コリン・アダムス氏は『ニュー・サイエンティスト』誌に、「もし今タイルを貼っていたら、バスルームに置くだろう」と語った。

この記事は元々 Spektrum der Wissenschaft に掲載され、許可を得て転載したものです。

マノン・ビショフ理論物理学者であり、Scientific American の提携出版物である Spektrum の編集者です。クレジット: ニック・ヒギンズ

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