円を四角に変えることができる切り紙です

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Kirigami は、飛び出す絵本をまったく新しいレベルに引き上げます。 和紙クラフトでは、紙に模様を切り込み、部分的に折りたたむと、二次元のシートが複雑な三次元の構造に変わります。 芸術家の手にかかれば、切り紙は自然や建築などの構造を非常に詳細かつ繊細に再現することができます。

科学者や技術者はまた、切り紙からインスピレーションを得て、切り紙の原理を応用して、ロボットグリッパー、伸縮性エレクトロニクス、集水シート、その他の形状を変化させる材料や装置を設計しています。 ほとんどの場合、そのような発明はゼロからの設計によるものです。 つまり、材料をある望ましい形状から別の形状に変換するためのカットのパターンをエンジニアが決定するための青写真はこれまで存在しませんでした。

Nature Computational Science の新しい研究では、切り紙にヒントを得たあらゆる 2 次元変換を解決できる一般的な計算戦略が示されています。 この方法を使用して、カットする角度と長さを決定することができ、シートを引っ張って開いたり押し戻したりすると、複雑な拡張可能な格子のように、ある望ましい形状から別の形状に変形することができます。

研究者らは、新しい手法を用いて、正方形に変形する円やハートに変形する三角形など、変形可能な 2D 切り紙構造を多数設計、作製しました。

「人々は、正方形と円が数学における不可能な問題の 1 つであると話しています。一方をもう一方に変えることはできません」と、MIT の博士研究員で応用数学の講師であるゲイリー・チョイ氏は言います。 「しかし、切り紙を使えば、正方形を実際に円形に変えることができます。」

エンジニアにとって、この新しい方法は、特定のタスクを実行したり、特定の空間を移動したりするために、ある形状から別の形状に変形するロボットをどのように設計するかなど、さまざまな設計上の問題を解決するために使用できる可能性があります。 たとえば、建物や住宅のスマートカバーとして活物質を設計する可能性もあります。

「私たちが最初に考えた用途の 1 つは、ファサードの構築でした」と MIT の機械工学助教授、ケイトリン・ベッカーは言います。 「これは、日光や紫外線を制御し、環境に適応するために形状を変えることができる、大きな切り紙のようなファサードを作るのに役立つ可能性があります。」

ベッカー氏とチョイ氏は、オプティバー社の定量研究者であるリーヴァイ・ドゥドゥテ氏とハーバード大学教授のL・マハデヴァン氏とともに、この新しい研究の共著者である。

間のスペース

この研究は、日本の紙を折る芸術である切り紙と折り紙の両方に関するチームの以前の研究から発展したものである。

「切り紙と折り紙には数学的なつながりがたくさんあることがわかりました」とチョイ氏は言う。 「そこで私たちは、人々がさまざまなパターンをデザインするのに役立つ数学的定式化を考え出したいと考えました。」

2019 年、チームは、ある形を別の形に変えるために必要なカットのパターンを見つけるための切り紙の最適化アプローチを考案しました。 しかし、チョイ氏は、このアプローチは計算量が多すぎて、特定の変換を達成するための最適なパターンを導き出すのに多大な時間がかかったと述べています。

2021年、研究者らは折り紙で同様の問題に取り組み、少し異なる視点を通じて、より効率的な戦略を導き出すことができたことを発見した。 チームは、個々の折り目のパターン (切り紙の個々のカットに似たもの) を計画するのではなく、単純な折り畳まれた種からパターンを成長させることに焦点を当てました。 パネルごとに作業し、隣接するパネルが折り畳まれた場合に 1 つのパネルがどのように動くかなど、パネル間の関係を確立することで、折り紙構造の設計を計画するための比較的効率的なアルゴリズムを導き出すことができました。

研究チームは、同様のアプローチを切り紙にも適用できないかと考えました。 伝統的な切り紙では、紙に切れ目を入れると、その紙を部分的に折りたたむことができ、結果として生じる空いた空間が三次元構造を作り出します。 折り紙の折り目の間のパネルのように、カット間の空きスペースとそれらの相互の関係から、切り紙のデザインのためのより効率的な公式が得られるでしょうか? この疑問がチームの新たな研究の動機となった。

数学リンク

この研究は、二次元の切り紙の変形に焦点を当てています。 研究者らは、それぞれがさまざまな角度やサイズにカットされた、相互に接続された四角形のタイルのモザイクで構成される一般的な切り紙のデザインを検討しました。 概念的なモザイクは 1 つの形状として始まり、バラバラにしたり押し戻したりしてまったく新しい形状を形成することができます。 課題は、タイル間の空きスペースに基づいて、ある形状が別の形状にどのように変形するのか、また、タイルが引き離されたり押し戻されるときにスペースがどのように変化するかを説明することでした。

「タイル自体がしっかりしていて変更できない場合、タイル間の空きスペースが動きのチャンスになります」とベッカー氏は言います。

研究チームはまず、ひし形、または彼らが「4 本の棒の結合」と呼ぶものの形で、空の空間を最も単純に表現することを検討しました。 ひし形の各辺はバー、つまりソリッド タイルのエッジを表します。 ひし形の各角は、タイルを接続するリンケージ、またはヒンジを表します。 菱形の辺の長さと角度を変えることで、チームはその間の空きスペースがどのように変化するかを研究できた。

チームは、4 つのバーのリンクから成る徐々に大きな集合体を研究することで、バーの角度と長さ、個々の空いたスペースの形状、集合体全体の形状の間の関係を特定しました。 彼らはこれらの関係を一般的な式にまとめ、それによって、二次元シートをある望ましい形状から別の形状に変換するために必要な、角度や長さを含むカットのパターンを効率的に特定できることがわかりました。

「このようなツールがなければ、Matlab でこの問題を総当たりで実行したり、推測してチェックしたりするかもしれませんが、円から正方形に変形できるものを得るには非常に長い時間がかかるでしょう」とベッカー氏は言います。

チームはシミュレーションで、この公式が実際に、円形のモザイクを正方形に変えるだけでなく、事実上あらゆる形状をその他の希望の形状に変えるタイルのパターンを見つけることができることを発見しました。

さらに一歩進んで、チームはフォーミュラの設計を物理的に実現するための 2 つの製造方法を開発しました。 彼らは、変形可能なモザイクを作成する際の重要な課題は、タイルを接続するヒンジとして機能する適切な材料を見つけることであることにすぐに気づきました。 接続は強力でありながら、簡単に曲げることができる必要がありました。

「引っ張りに非常に強く、引き裂きに強いのに、曲げ半径がゼロで、まるでピンポイント ヒンジのようなものは何でしょうか?」 ベッカー氏は言う。 「そして、答えは生地だということが分かりました。」

研究チームは、3D プリンティングと金型鋳造という 2 つの方法を使用して、小さな布片を四角形のプラスチック タイルに埋め込み、タイルを互いに曲げながら密接に接続する方法で作りました。 これら 2 つの方法を使用して、チームは正方形に変形する円形のモザイクと、より複雑なハート形に変形する単純な三角形のモザイクを作製しました。

「基本的にはどんな 2 次元形状にも対応できます」と Choi 氏は言います。 「私たちの数学的定式化を使用すれば、それが保証されます。現在、これを 3D 切り紙に拡張することを検討しています。」

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